题目内容
如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．
【答案】分析：（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高；
（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值；
（3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开，以C为点在三边上各去一点． 矩形二边与三角形二直角边重合．
解答：
解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10，
∵S△ABC=
BC=
AB•CI，
∴
×6×8=
×10×CI，
∴CI=4.8；
∴△ABC中AB边上的高h=4.8．
（2）∵水池是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高，
∴
=
，
∴
=
，
∴GF=10-
，
∵10-
＞0，
∴0＜x＜
，
设水池的面积为y，则
y=x（10-
）=-
x2+10x，
当x=-
=2.4时，水池的面积最大；
（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，
∴FE∥CI，
∴△BFE∽△BCI，
∴FE：CI=BE：BI，
又∵FE=2.4，CI=4.8，
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6，
∴BE=
=
=1.8，
∵BE=1.8＜1.85，
∴这棵大树在最大水池的边上．
为了保护这棵大树，设计方案如图：
点评：根据题意寻找关系式，准确列出二次函数，由函数的性质，计算出面积最大时GD的值．
（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值；
（3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开，以C为点在三边上各去一点． 矩形二边与三角形二直角边重合．
解答：
解：如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10，∵S△ABC=
BC=AB•CI，∴
×6×8=×10×CI，∴CI=4.8；
∴△ABC中AB边上的高h=4.8．
（2）∵水池是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高，
∴
=，∴
=，∴GF=10-
，∵10-
＞0，∴0＜x＜
，设水池的面积为y，则
y=x（10-
）=-x2+10x，当x=-
=2.4时，水池的面积最大；（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，
∴FE∥CI，
∴△BFE∽△BCI，
∴FE：CI=BE：BI，
又∵FE=2.4，CI=4.8，
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6，
∴BE=
==1.8，∵BE=1.8＜1.85，
∴这棵大树在最大水池的边上．
为了保护这棵大树，设计方案如图：
点评：根据题意寻找关系式，准确列出二次函数，由函数的性质，计算出面积最大时GD的值．
练习册系列答案
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）．
