Question

（2013•三明）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax²-10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．
（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定和性质可得点D的坐标；
（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（3）分点P在CD的上面和点P在CD的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P的坐标．

解答：（1）证明：∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=6+4=10，AC=

62+82

=10，
∴AB=AC，
由翻折可得，AB=BD，AC=CD，
∴AB=BD=CD=AC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∵C（0，8），
∴点D的坐标是（10，8）；

（2）∵y=ax²-10ax+c，
∴对称轴为直线x=-

-10a

2a

=5．
设M的坐标为（5，n），直线BC的解析式为y=kx+b，
∴

0=4k+b 8=b

，
解得

k=-2 b=8

．
∴y=-2x+8．
∵点M在直线y=-2x+8上，
∴n=-2×5+8=-2．
又∵抛物线y=ax²-10ax+c经过点C和M，
∴

c=8 25a-50a+c=-2

，
解得

a= 2 5 c=8

．
∴抛物线的函数表达式为y=

2

5

x²-4x+8；

（3）存在．
△PBD与△PCD的面积相等，点P的坐标为P₁（

5

4

，

29

8

），P₂（-5，38）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用．