Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
小题1:当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形
小题2:当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
小题3:点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

小题1:3或8
小题2:1或11
小题3:由（2）知，当BP=11时，以P、A、D、E为顶点的四边形为菱形

解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4 ，∠C=45°，
∴DN=CN=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DEB=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DEB=90°时，
∴P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；
（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP=AD=5，
过D作DN⊥BC于N，
∵CD=4 ，∠C=45°，
则DN=CN=4，
∴NP=3．
∴DP=
∴EP=DP，
故此时?PDAE是菱形．
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形