Question

如图，一次函数y=ax-1的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

．
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）观察图象，请直接写出不等式ax-1≥

k

x

的解集；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过A作AE⊥x轴，交x轴于点E，在Rt△AOE中，根据tan∠AOC的值，设AE=x，得到OE=3x，再由OA的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出A坐标，将A坐标代入一次函数解析式求出a的值，代入反比例解析式求出k的值，联立一次函数与反比例函数解析式求出B的坐标；
（2）由A与B交点横坐标，根据函数图象确定出所求不等式的解集即可；
（3）显然P与O重合时，满足△PDC与△ODC相似；当PC⊥CD，即∠PCD=90°时，满足三角形PDC与三角形CDO相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等得到三角形PCO与三角形CDO相似，由相似得比例，根据OD，OC的长求出OP的长，即可确定出P的坐标．

解答：解：（1）过A作AE⊥x轴，交x轴于点E，
在Rt△AOE中，OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，
设AE=x，则OE=3x，
根据勾股定理得：OA²=OE²+AE²，即10=9x²+x²，
解得：x=1或x=-1（舍去），
∴OE=3，AE=1，即A（3，1），
将A坐标代入一次函数y=ax-1中，得：1=3a-1，即a=

2

3

，
将A坐标代入反比例解析式得：1=

k

3

，即k=3，
联立一次函数与反比例解析式得：

y= 2 3 x-1 y= 3 x

，
消去y得：

2

3

x-1=

3

x

，
解得：x=-

3

2

或x=3，
将x=-

3

2

代入得：y=-1-1=-2，即B（-

3

2

，-2）；
（2）由A（3，1），B（-

3

2

，-2），
根据图象得：不等式

2

3

x-1≥

3

x

的解集为-

3

2

≤x＜0或x≥3；
（3）显然P与O重合时，△PDC∽△ODC；
当PC⊥CD，即∠PCD=90°时，∠PCO+∠DCO=90°，
∵∠PCD=∠COD=90°，∠PCD=∠CDO，
∴△PDC∽△CDO，
∵∠PCO+∠CPO=90°，
∴∠DCO=∠CPO，
∵∠POC=∠COD=90°，
∴△PCO∽△CDO，
∴

CO

DO

=

PO

CO

，
对于一次函数解析式y=

2

3

x-1，令x=0，得到y=-1；令y=0，得到x=

3

2

，
∴C（

3

2

，0），D（0，-1），即OC=

3

2

，OD=1，
∴

3 2

1

=

PO

3 2

，即OP=

9

4

，
此时P坐标为（0，

9

4

），
综上，满足题意P的坐标为（0，

9

4

）或（0，0）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合的思想，熟练运用数形结合思想是解本题第二问的关键．