Question

将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．

（1）当m=3时，点B的坐标为        ，点E的坐标为         ；

（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

（3）如图，若点E的纵坐标为－1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）。

（2）点E能恰好落在x轴上。理由如下：

∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°。

由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m。

如图1，假设点E恰好落在x轴上，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得

，

则有。

在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²，

即，解得。

（3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，

在Rt△PDE中，由勾股定理可得

，

∴BF=DP=。

在Rt△AEF中，AF=AB−BF=m−，EF=5，AE=m，

∵AF²+EF²=AE²，即，解得m=3。

∴AB＝3，AF＝2，E（2，－1）。

∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD。

∴，即，解得FG=2。∴EG=EF－FG=3。∴点G的纵坐标为2。

∵，

∴此抛物线的顶点必在直线x＝2上。

又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，

∴此抛物线的顶点必在EG上。

∴－1＜10－20a＜2，解得。

∴a的取值范围为。