题目内容
【题目】在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞2），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
（1）求证：△OBC≌△ABD
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时，直线EF∥直线BO；这时⊙F和直线BO的位置关系如何？请给予说明．
【答案】（1）见解析；（2）直线AE的位置不变，AE的解析式为：
；（3）C点运动到
处时，直线EF∥直线BO；此时直线BO与⊙F相切，理由见解析.
【解析】
（1）由等边三角形的性质可得到OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC，等号两边都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD.（2）先由三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，由等边△BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式.（3）由EA∥OB，EF∥OB，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据“三线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证.
（1）证明：∵△OAB和△BCD都为等边三角形，
∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
,
∴△OBC≌△ABD.
（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=2，
在Rt△AOE中，tan60°=
，
则OE=2
，
∴点E坐标为（0，-2），
设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得：
，
解得，
，
∴直线AE的解析式为：.
（3）C点运动到处时，直线EF∥直线BO；此时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
则EF与EA所在的直线重合，
∴点F为DE与BC的交点，
又F为BC中点，
∴A为OC中点，又AO=2，则OC=4，
∴当C的坐标为（4，0）时，EF∥OB，
这时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，
∴直线BO与⊙F相切，
【题目】学校开展校外宣传活动，有社区板报（A）、集会演讲（B）、喇叭广播（C）、发宣传画（D）四种方式．围绕“你最喜欢的宣传方式”，校团委在全校学生中进行了抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下不完整的统计图表．
选项 | 方式 | 百分比 |
A | 社区板报 | m |
B | 集会演讲 | 30% |
C | 喇叭广播 | 25% |
D | 发宣传画 | 10% |
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生共 人，m＝ ；
（2）若该校学生有900人，估计其中喜欢“集会演讲”宣传方式的学生约有多少人？
