题目内容
【题目】直线y=x+b与双曲线y=交于点A(﹣1,﹣5).并分别与x轴、y轴交于点C、B.
(1)直接写出b= ,m= ;
(2)根据图象直接写出不等式x+b<的解集为 ;
(3)若点D在x轴的正半轴上,是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似?若存在,请求出D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)、b=-4,m=5;(2)、x<-1或0<x<5;(3)、(6,0)或(20,0)
【解析】
试题分析:(1)、把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式,即可求得b和m的值;(2)、根据图象即可直接写出,即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值;(3)、求得△OAB的边长,点D在x轴的正半轴上,可以分D在线段OC上(不在O点)或线段OC的延长线上两种情况讨论,依据相似三角形的对应边的比相等即可求得.
试题解析:(1)、把A(﹣1,﹣5)代入y=x+b得:﹣5=﹣1+b,解得:b=﹣4.
把A(﹣1,﹣5)代入y=,得:m=(﹣1)(﹣5)=5.
(2)、解集为:x<﹣1或0<x<5,
(3)、OA=, 在y=x﹣4中,令x=0,解得y=﹣4,则B的坐标是(0,﹣4).
令y=0,解得:x=4,则C的坐标是(4,0). 故OB=4,AB==,BC=4,OC=4.
∴OB=OC,即△OBC是等腰直角三角形, ∴∠OCB=∠OBC=45°,∠BCE=135°.
过A作AD⊥y轴于点D.则△ABD是等腰直角△,∠ABD=45°,∠ABO=135°.
1)当D在线段OC(不与O重合)上时,两个三角形一定不能相似;
2)当D在线段OC的延长线上时,设D的坐标是(x,0),则CD=x﹣4, ∠ABO=∠BCD=135°,
当△AOB∽△DBC时,,即, 解得:x=6, 则D的坐标是(6,0);
当△AOB∽△BDC时,,即, 解得:x=20, 则D的坐标是(20,0).
则D的坐标是(6,0)或(20,0).