题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于点A(
，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBO=5∶2，求K点坐标。
【答案】（1）、y=
；（2）、t=1时，最大面积为
；（3）、K1（1，﹣
），K2（3，﹣
）.
【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=-
（t-1）2+
．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=
x-3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m， 
m2-
m-3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=
．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=
EKm+
EK（4-m），把相关线段的长度代入推知：-
m2+3m=
．易求得K1（1，-
），K2（3，-
）．
试题解析：（1）把点A（-2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx-3（a≠0），得
，
解得
，
所以该抛物线的解析式为：y=
x2-
x-3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6-3t．
由题意得，点C的坐标为（0，-3）．
在Rt△BOC中，BC=
=5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴
，即
，
∴HQ=
t．
∴S△PBQ=
PBHQ=
（6-3t）
t=-
t2+
t=-
（t-1）2+
．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=
．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，-3）代入，得
，
解得
，
∴直线BC的解析式为y=
x-3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m， 
m2-
m-3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m， 
m-3）．
∴EK=
m-3-（
m2-
m-3）=-
m2+
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
．
∴S△CBK=
．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=
EKm+
EK（4-m）
=
×4EK
=2（-
m2+
m）
=-
m2+3m．
即：-
m2+3m=
．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，-
），K2（3，-
）．
