题目内容

根据要求，解答下列问题：
（1）已知直线l₁的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l₁垂直的直线l₂的函数表达式；
（2）如图，过原点的直线l₃向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．
①求直线l₃的函数表达式；
②把直线l₃绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l₄，求直线l₄的函数表达式．
（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=- $数学公式$ 垂直的直线l₅的函数表达式．

解：（1）根据题意得：y=-x；

（2）①设直线l₃的函数表达式为y=k₁x（k₁≠0），
∵过原点的直线l₃向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，
∴k₁=tan30°= $\text{[math]}$ ，
∴直线l₃的函数表达式为y= $\text{[math]}$ x；
②∵l₃与l₄的夹角是为90°，
∴l₄与x轴的夹角是为60°，
设l₄的解析式为y=k₂x（k₂≠0），
∵直线l₄过二、四象限，
∴k₂=-tan60°=- $\text{[math]}$ ，
∴直线l₄的函数表达式为y=- $\text{[math]}$ x；

（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，
∴过原点且与直线y=- $\text{[math]}$ 垂直的直线l₅的函数表达式为y=5x．
分析：（1）根据题意可直接得出l₂的函数表达式；
（2）①先设直线l₃的函数表达式为y=k₁x（k₁≠0），根据过原点的直线l₃向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，直线过一、三象限，求出k₁=tan30°，从而求出直线l₃的函数表达式；
②根据l₃与l₄的夹角是为90°，求出l₄与x轴的夹角是为60°，再设l₄的解析式为y=k₂x（k₂≠0），根据直线l₄过二、四象限，求出k₂=-tan60°，从而求出直线l₄的函数表达式；
（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，再根据这一关系即可求出与直线y=- $\text{[math]}$ 垂直的直线l₅的函数表达式．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是锐角三角函数、一次函数的解析式的求法，关键是根据锐角三角函数求出k的值，做综合性的题要与几何图形相结合，更直观一些．