Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F，G，H分别是梯形各边的中点．

（1）请用全等符号表示出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线），并选其中一对加以证明；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠A=∠D，AB=CD，

∵E，F，G，H分别是梯形各边的中点，

∴AH=DH，AE=DG，

在△AEH和△DGH中，

，

∴△AEH≌△DGH（SAS），

同理可得：△BEF≌△CGF．

∴图中所有的全等三角形有：△AEH≌△DGH，△BEF≌△CGF；

（2）

证明：连接AC，BD，

∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

∵E，F，G，H分别是梯形各边的中点，

∴EH=FG= BD，GH=EF= AC，

∴EH=GH=GF=EF，

∴四边形EFGH是菱形．

【解析】（1）由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F，G，H分别是梯形各边的中点，根据等腰梯形的性质，利用SAS可判定△AEH≌△DGH，同理可得证得△BEF≌△CGF；（2）首先连接AC，BD，由三角形的中位线的性质，可得EH=FG= BD，GH=EF= AC，继而可得EH=GH=GF=EF，则可证得四边形EFGH是菱形．
【考点精析】本题主要考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法的相关知识点，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形才能正确解答此题．