题目内容
如图,等边三角形ABC的边长为3,点P、Q分别是AB、BC上的动点(点P、Q与三角形ABC的顶点不
(1)如设线段AP为x,线段CP为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(2)当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时,求AP的长;
(3)点P、Q分别在AB、BC上移动过程中,AQ和CP能否互相垂直?如能,请指出P点的位置;如不能,请说明理由.
分析:(1)作PF⊥BC,在直角△BPF中,利用勾股定理即可得到关于x,y的方程,即可写出函数关系式;
(2)证明△CEQ∽△CBP,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可求解;
(3)由△ABQ≌△CAP,易证得∠CEQ=∠B=60°,即可得AQ和CP不可能互相垂直.
(2)证明△CEQ∽△CBP,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可求解;
(3)由△ABQ≌△CAP,易证得∠CEQ=∠B=60°,即可得AQ和CP不可能互相垂直.
解答:解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠B=∠BAC=∠ACB=60°,(1分)
作PF⊥BC于F(1分)
∵AP=x,BP=3-x,
∴BF=
(3-x),PF=
(3-x),CF=
(3+x),
∴CP2=PF2+CF2
∴y=
,0<x<3;(1分)
(2)∵AP=BQ,
∴AB=AC,∠B=∠BAC,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠PCA,(2分)
∠BPC=∠BAC+∠PAC,∠EQC=∠B+∠BAQ,
∴∠BPC=∠EQC,(1分)
∵∠PCB=∠QCE,
∴△CEQ∽△CBP,(1分)
∴
=(
)2=
,
∴
=
,(1分)
∴x=
(舍),x=
,
AP的长为
;
(3)∵△ABQ≌△CAP,
∴∠APC=∠AQB,
∴∠CEQ=∠AEP=180°-∠PAE-∠APC=180°-∠PAE-∠AQB=∠B,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠CEQ=∠B=60°,
∴AQ和CP不可能互相垂直.(2分)
∴AB=AC=BC,∠B=∠BAC=∠ACB=60°,(1分)
作PF⊥BC于F(1分)
∵AP=x,BP=3-x,
∴BF=
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
∴CP2=PF2+CF2
∴y=
x2-3x+9 |

∴AB=AC,∠B=∠BAC,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠PCA,(2分)
∠BPC=∠BAC+∠PAC,∠EQC=∠B+∠BAQ,
∴∠BPC=∠EQC,(1分)
∵∠PCB=∠QCE,
∴△CEQ∽△CBP,(1分)
∴
S△CEQ |
S△CBP |
CQ |
CP |
1 |
2 |
∴
x2-6x+9 |
x2-3x+9 |
1 |
2 |
∴x=
9+3
| ||
2 |
9-3
| ||
2 |
AP的长为
9-3
| ||
2 |
(3)∵△ABQ≌△CAP,
∴∠APC=∠AQB,
∴∠CEQ=∠AEP=180°-∠PAE-∠APC=180°-∠PAE-∠AQB=∠B,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠CEQ=∠B=60°,
∴AQ和CP不可能互相垂直.(2分)
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.

练习册系列答案
相关题目