题目内容

如图,等边三角形ABC的边长为3,点P、Q分别是AB、BC上的动点(点P、Q与三角形ABC的顶点不精英家教网重合),且AP=BQ,AQ、CP相交于点E.
(1)如设线段AP为x,线段CP为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(2)当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时,求AP的长;
(3)点P、Q分别在AB、BC上移动过程中,AQ和CP能否互相垂直?如能,请指出P点的位置;如不能,请说明理由.
分析:(1)作PF⊥BC,在直角△BPF中,利用勾股定理即可得到关于x,y的方程,即可写出函数关系式;
(2)证明△CEQ∽△CBP,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可求解;
(3)由△ABQ≌△CAP,易证得∠CEQ=∠B=60°,即可得AQ和CP不可能互相垂直.
解答:解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠B=∠BAC=∠ACB=60°,(1分)
作PF⊥BC于F(1分)
∵AP=x,BP=3-x,
∴BF=
1
2
(3-x),PF=
3
2
(3-x),CF=
1
2
(3+x),
∴CP2=PF2+CF2
∴y=
x2-3x+9
,0<x<3;(1分)

精英家教网(2)∵AP=BQ,
∴AB=AC,∠B=∠BAC,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠PCA,(2分)
∠BPC=∠BAC+∠PAC,∠EQC=∠B+∠BAQ,
∴∠BPC=∠EQC,(1分)
∵∠PCB=∠QCE,
∴△CEQ∽△CBP,(1分)
S△CEQ
S△CBP
=(
CQ
CP
)
2
=
1
2

x2-6x+9
x2-3x+9
=
1
2
,(1分)
∴x=
9+3
5
2
(舍),x=
9-3
5
2

AP的长为
9-3
5
2


(3)∵△ABQ≌△CAP,
∴∠APC=∠AQB,
∴∠CEQ=∠AEP=180°-∠PAE-∠APC=180°-∠PAE-∠AQB=∠B,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠CEQ=∠B=60°,
∴AQ和CP不可能互相垂直.(2分)
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
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