题目内容

(2001•湖州)已知如图,D是边长为4的正△ABC的边BC上一点,ED∥AC交AB于E,DF⊥AC交AC于F,设DF=x.
(1)求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,△EDF的面积最大,最大面积是多少?
(3)若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似,求BD的长.

【答案】分析:(1)判断出△BDE和△DEF的形状,利用60°的正弦值用DF表示出DC,进而得到BD,DE,利用三角形的面积公式求得函数关系式.
(2)由相似得到△DEF是含30°的直角三角形,可利用所给的2个特殊的直角三角形都用BD表示出DF的长度,然后即可求得BD长.
解答:解:(1)易得△BDE是等边三角形,∠FDC=30°,
∴CD=DF÷sin60°=x.
∠EDF=90°,
BD=BC-CD=ED=4-x.
y=DF×ED÷2=x(4-x)=-x2+2x,
∵D在BC上,
∴CD<4,
当CD=4时,CF=2,DF=2
DF≤2(等于2时,D和B重合)
∴自变量x的取值范围0≤x≤2

(2)当x=,△EDF的面积最大.
最大面积是=

(3)当△DCF∽△EFD,
∴∠FED=∠FDC=30°.
∴DF=DE=BD.
∵DC=4-BD,∠C=60°,
∴DF=CD=
BD=
解得:BD=2.4.
当△DCF∽△FED,
同理可得:BD=
∴BD=或2.4.
点评:考查特殊三角形的判断以及特殊三角函数值的充分运用.
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