Question

将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD。
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由。

Answer 1

解：（1）如图1，因为AD∥BC，AB∥DC， 所以四边形ABCD为平行四边形， 分别过点B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为点E、F， 则BE=CF， 因为∠DAB=∠BAF， 所以Rt△DAB≌Rt△BAF， 所以AD=AB， 所以四边形ABCD为菱形； （2）存在最小值和最大值， ①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8； ②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x，如图2， 在Rt△BCG中，，， 所以周长最大值为17。