题目内容

【题目】如图,点EF为菱形ABCD对角线BD的三等分点.

(1)试判断四边形AECF的形状,并加以证明;

(2)若菱形ABCD的周长为52,BD24,试求四边形AECF的面积.

【答案】(1)菱形;(2) 40

【解析】试题分析:(1)根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明;
(2)根据菱形的四条边都相等求出边长AB,根据菱形的对角线互相平分求出OB,然后利用勾股定理列式求出AO,再求出AC,最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.

试题解析:

(1)四边形ABCD为菱形.
理由如下:如图,连接ACBD于点O,


∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC,EO=OF,
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点,
∴BE=FD,
∴BO=OD,
∵AO=OC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD为菱形;

(2)∵四边形ABCD为菱形,且周长为52,
∴AB=13,
∵BD=24,EF为菱形ABCD对角线BD的三等分点,
∴OB=BD=×24=12,EF=
由勾股定理得,AO=,

∴AC=2AO=2×5=10,
∴S四边形AECF=EFAC=×8×10=40.

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