Question

好学的小宸利用电脑作了如下的探索：
(1)如图①，将边长为2的等边三角形复制若干个后向右平移，使一条边在同一直线上．则△A₂C₁B₁的面积为   ；
(2)求△A₄C₃B₃的面积；
(3)在保持图①中各三角形的边OB₁＝B₁B₂＝B₂B₃＝B₃B₄＝2不变的前提下，小宸又作了如下探究：将顶点A₁、A₂、A₃、A₄向上平移至同一高度（如图②），若OA₄＝OB₄，试判断以OA₂、OA₃和OA₄为三边能否构成三角形？若能，请判断这个三角形的形状；若不能，请说明理由．

Answer 1

(1);（2）.（3）这三边能构成直角三角形.

试题分析：（1）分别过A₂、C₁作x轴的垂线，垂足分别为E、F，根据勾股定理求得相应线段的长度，由△A₂C₁B₁=S梯形A₁EFC₁-△C₁FB₁-△A₂EB₁可求得；
（2）分别计算△A₄B₃B₄、△A₄OB₄的面积，利用相似三角形即可求出△A₄C₃B₃的面积；
（3）根据勾股定理的逆定理即可判定三角形为直角三角形.
试题解析：(1);
(2)解得△A₄B₃B₄的面积为：
解得△A₄OB₄的面积为：
利用△OC₃B₃∽△OA₄B₄得：S四边形C₃B₃B₄A₄:S△OA₄B₄=7:16
∴四边形C₃B₃B₄A₄的面积为：
∴△A₄C₃B₃的面积为：.
（3）能.
设这些等腰三角形的高为h.
则：OA₂²=9+h²，
OA₃²=25+h²，
OA₄²=64
∵OA₄=OB₄
∴∠OA₄B=∠OB₄A₄=∠A₄B₃B₄
∴△OA₄B₄∽△A₄B₄B₃
∴
∴A₄B₄=4
∴h²=15
∴OA₂²+OA₃²=OA₄²
即这三边能构成直角三角形.