Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．
求证：EF=

1

2

（BC-AD）．

Answer 1

证明：方法一：
如图所示，连接AE并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E为BD中点，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，
∵F，E分别是对角线AC，BD的中点
∴F、E是△AGC的为中位线，
∴EF∥BC，EF=

1

2

GC=

1

2

（BC-BG）=

1

2

（BC-AD），
即EF=

1

2

（BC-AD）．

方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．
∵E为BD中点，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点，
∴EF=

1

2

GA=

1

2

（GD-AD）=

1

2

（BC-AD），即EF=

1

2

（BC-AD）．