题目内容
如图，已知?ABCD的对角线交于O点，M为OD的中点，过M的直线分别交AD于CD于P、Q，与BA、BC的延长线于E、F
（1）如图1，若EF∥AC，求证：PE+QF=2PQ；
（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由．
（1）如图1，若EF∥AC，求证：PE+QF=2PQ；
（2）如图2，若EF与AC不平行，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；不成立，请说明理由．
（1）如图1，∵MP∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE与△DPQ中，
，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理，QF=PQ，
∴PE+QF=2PQ；
（2）若EF与AC不平行，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF=2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，∴
=
，
∵DQ∥AE，∴
=
，
∴
+
=
+
，即
=
=
=2，
∴QF+PE=2PQ．
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE与△DPQ中，
|
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理，QF=PQ，
∴PE+QF=2PQ；
（2）若EF与AC不平行，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF=2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，∴
| QF |
| PQ |
| CF |
| PD |
∵DQ∥AE，∴
| PE |
| PQ |
| AP |
| PD |
∴
| QF |
| PQ |
| PE |
| PQ |
| CF |
| PD |
| AP |
| PD |
| QF+PE |
| PQ |
| CF+AP |
| PD |
| 2PD |
| PD |
∴QF+PE=2PQ．
练习册系列答案
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中，
、
是
边上的点，
，
在
，
交
、
于
、
，则
等于 ( )
