Question

（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M、N分别在BC、CA边上，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．
解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC．
在△ABM和△BCN中，

. =        . ∠        . =∠        .        . =        .

?△ABM≌△BCN（

 

）．
∴∠

 

=∠

 

，
∴∠BQM=∠

 

+∠

 

=∠

 

+∠

 

=

 

°．
（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M、N分别在BC、CD边上，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．

（3）如果将（1）中的“正三角形”改为正五边形、正六边形、…、正n边形（如图3），其余条件都不变，请你根据（1）（2）的求解思路，将你推断的结论填入下表：（正多边形的各个内角都相等）

正多边形	正五边形	正六边形	…	正n边形
∠BQM的度数			…

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质，三条边都相等，三个角都是直角找出条件，然后利用“边角边”定理证明△ABM和△BCN全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAM=∠CBN，然后即可证明∠BQM=∠ABQ+∠CBN=60°；
（2）同（1）的思路先证明△ABM和△BCN全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAM=∠CBN，然后即可证明∠BQM=∠ABQ+∠CBN=90°；
（3）根据规律，∠BQM的度数等于正多边形的一个内角的度数，然后分别求出各多边形的内角的度数即可．

解答：解：（1）故答案为：

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

，（SAS），∠BAM=∠CBN，
∠BAQ+∠ABQ，∠ABQ+∠QBM，60；

（2）∵ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

?△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAQ=∠QBM，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠ABQ+∠QBM=90°；

（3）108°，120°，180°-

360°

n

或

(n-2)•180°

n

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，以及多边形的内角的求法，规律性较强，难度不大，希望同学们熟练掌握．