Question

如图，已知AB为⊙O的弦，M为AB的中点，P为⊙O上任意一点，以点P为圆心、2MO为半径作圆并交⊙O于点C、D，AC、BD交于点Q，请问：
（1）点Q是△PAB的什么“心”？
（2）点Q是否在⊙P上？试证明你的结论．
提示：（1）三角形的三条高线交于一点，称为垂心定理，此点称为垂心．
（2）三角形有内心、外心、重心、垂心等．

Answer 1

解：（1）如图，作⊙O的直径BE，连接OM、PD、DE、EA．
∵BE为⊙O直径，
∴∠BAE=90°，
而M为AB的中点，所以OM⊥AB，
∴AE∥MO，AE=2MO．
而PD=2OM，
∴AE=PD，
∴∠DEP=∠EPA，
∴DE∥AP，
又∵∠BDE=90°，即BD⊥DE，
所以，BD⊥PA，
即点Q在△PAB的顶点B到底边PA的垂线上．
连接PE、PC．
同理可得AC⊥PB，即点Q在△PAB的顶点A到底边PB的垂线上．
∴Q是△PAB两条高的交点，
故Q为△PAB的垂心．

（2）点Q在⊙P上．
理由如下：
连接PQ．
∴PQ⊥AB，
而AE⊥AB，
∴PQ∥AE．
又∵PE∥AC，即有PE∥AQ，
∴四边形AQPE为平行四边形．
∴PQ=AE=PC=2MO．
故点Q在⊙P上．
分析：（1）作⊙O的直径BE，连接OM、PD、DE、EA．先由∠BAE=90°OM⊥AB，证明出AE=2MO．而PD=2OM，得AE=PD，得∠DEP=∠EPA，所以DE∥AP，而BD⊥DE，于是BD⊥PA，同理可得AC⊥PB，因此判断Q为△PAB的垂心．
（2）连接PQ．由PQ⊥AB，AE⊥AB，得PQ∥AE，而PE∥AC，得到四边形AQPE为平行四边形，所以PQ=AE=PC=2MO，故点Q在⊙P上．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．也考查了三角形中位线的性质和平行线的性质．