题目内容

【题目】如图,已知直线和双曲线(k为正整数)交于A,B两点.

(1)当k=1时,求A、B两点的坐标;

(2)当k=2时,求△AOB的面积;

(3)当k=1时,△OAB的面积记为S1,当k=2时,△OAB的面积记为S2,…,依此类推,当k=n时,△OAB的面积记为Sn,若S1+S2+…+Sn=,求n的值.

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析:1)由k=1得到直线和双曲线的解析式,组成方程组,求出方程组的解,即可得到AB两点的坐标;(2)先由k=2得到直线和双曲线的解析式,组成方程组,求出方程组的解,即可得到AB两点的坐标;再求出直线AB的解析式,得到直线ABy轴的交点(02),利用三角形的面积公式,即可解答.(3)根据当k=1时,S1=×1×1+2=,当k=2时,S2=×2×1+3=4得到当k=n时,Sn=n1+n+1=n2+n,根据若S1+S2+…+Sn=,列出等式,即可解答.

试题解析:(1k=1,直线y=x+k和双曲线化为:y=x+1y=

A(1,2),B(2,1)

(2)k=2,直线y=x+k和双曲线化为:y=x+2y=

A(1,3),B(3,1)

设直线AB的解析式为:y=mx+n

∴直线AB的解析式为:y=x+2

∴直线ABy轴的交点(0,2)

SAOB=×2×1+×2×3=4

(3)k=1,S1=×1×(1+2)=

k=2,S2=×2×(1+3)=4

k=n,Sn=n(1+n+1)= n2+n

S1+S2+…+Sn=

×(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…n)=

整理得: ×n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=

解得:n=6.

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