题目内容
如图,△ABC是圆O的内接三角形,AB是直径,∠ABC=45°,点M在边AC上,点N在边BC上,△MCN与△MPN关于直线MN对称,P是AB上的点.(1)当点P是边AB的中点时,求证:
PA |
PB |
CM |
CN |
(2)当点P不是边AB的中点时,
PA |
PB |
CM |
CN |
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分析:(1)连接CP,依据题意得折痕MN⊥CP,由AC=BC,AP=BP,可得CP⊥AB,MN∥AB,利用平行线分线段成比例定理,即可证得
=
;
(2)连接CP,则MN⊥CP.作PE⊥AC于E,易得PE∥BC,由平行线分线段成比例定理与等腰三角形的性质,即可证得Rt△MCN∽Rt△PEC,由相似三角形的对应边成比例,即可证得答案.
PA |
PB |
CM |
CN |
(2)连接CP,则MN⊥CP.作PE⊥AC于E,易得PE∥BC,由平行线分线段成比例定理与等腰三角形的性质,即可证得Rt△MCN∽Rt△PEC,由相似三角形的对应边成比例,即可证得答案.
解答:(1)证明:连接CP,依据题意得折痕MN⊥CP.
∵AC=BC,AP=BP,
∴CP⊥AB.
∴MN∥AB,
∴
=
=1.
∴
=
.
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(2)解:当点P不是斜边AB的中点时,
=
仍然成立.
证明如下:
连接CP,则MN⊥CP.作PE⊥AC于E.
∵∠ACB=90°,
∴PE∥BC,
∴
=
.
又AC=BC,∠A=∠B=45°,∠APE=∠B=45°,
∴AE=PE.
∵∠MCN=90°,CP⊥MN,
∴∠ECP=∠MNC,
∴Rt△MCN∽Rt△PEC,
∴
=
.
∴
=
=
.
∴
=
.
∵AC=BC,AP=BP,
∴CP⊥AB.
∴MN∥AB,
∴
CM |
CN |
AC |
BC |
∴
PA |
PB |
CM |
CN |
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(2)解:当点P不是斜边AB的中点时,
PA |
PB |
CM |
CN |
证明如下:
连接CP,则MN⊥CP.作PE⊥AC于E.
∵∠ACB=90°,
∴PE∥BC,
∴
PA |
PB |
AE |
EC |
又AC=BC,∠A=∠B=45°,∠APE=∠B=45°,
∴AE=PE.
∵∠MCN=90°,CP⊥MN,
∴∠ECP=∠MNC,
∴Rt△MCN∽Rt△PEC,
∴
CM |
PE |
CN |
EC |
∴
CM |
CN |
PE |
EC |
AE |
EC |
∴
PA |
PB |
CM |
CN |
点评:此题考查了翻折变换的性质,平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定与性质等知识.此题难度适中,解题时要注意比例变形与数形结合思想的应用.
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