题目内容
(2003•甘肃)如图,△ABC是圆内接正三角形,P为劣弧BC上一点,已知AB=![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105600360919022/SYS201310191056003609190031_ST/0.png)
(1)求证:PB+PC=PA;
(2)求PB、PC的长(PB<PC).
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105600360919022/SYS201310191056003609190031_ST/images1.png)
【答案】分析:(1)连接PB,在PA上截取PE=PB,连接BE,则有△BEP是等边三角形,由SAS证得△ABE≌△CBP,则AE=CP,得到AP=AE+PE=PB+PC;
(2)由于∠APB=∠ACB=60°,因此可用余弦定理求解.
解答:
(1)证明:连接PB,在PA上截取PE=PB,连接BE;
∵△ABC是等边三角形,∠ACB=∠APB,
∴∠ACB=∠APB=60°,AB=BC;
∴△BEP是等边三角形,BE=PE=PB;
∴∠ACB-∠EBC=∠APB-∠EBC=60°-∠EBC;
∴∠ABE=∠CBP;
∵在△ABE与CBP中,
,
∴△ABE≌△CBP;
∴AE=CP;
∴AP=AE+PE=PB+PC.
(2)解:由余弦定理知,PB2+AP2-AB2=2PA•PB•cos∠APB;
PB2+36-28=6AB,PB2-6PB+8=0;
解得PB=4或PB=2;
∵PB<PC,
∴PB取2,
∴PC=4,PB=2.
点评:本题通过构造等边三角形,利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、余弦定理等知识求解.
(2)由于∠APB=∠ACB=60°,因此可用余弦定理求解.
解答:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105600360919022/SYS201310191056003609190031_DA/images0.png)
∵△ABC是等边三角形,∠ACB=∠APB,
∴∠ACB=∠APB=60°,AB=BC;
∴△BEP是等边三角形,BE=PE=PB;
∴∠ACB-∠EBC=∠APB-∠EBC=60°-∠EBC;
∴∠ABE=∠CBP;
∵在△ABE与CBP中,
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105600360919022/SYS201310191056003609190031_DA/0.png)
∴△ABE≌△CBP;
∴AE=CP;
∴AP=AE+PE=PB+PC.
(2)解:由余弦定理知,PB2+AP2-AB2=2PA•PB•cos∠APB;
PB2+36-28=6AB,PB2-6PB+8=0;
解得PB=4或PB=2;
∵PB<PC,
∴PB取2,
∴PC=4,PB=2.
点评:本题通过构造等边三角形,利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、余弦定理等知识求解.
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