Question

已知关于x的函数y=mx²+（m-1）x-2m+1．
（1）当m为何值时，函数图象与x轴只有一个交点，并求出交点坐标；
（2）当m为何值时，函数图象与x轴相交于A、B两点，且AB=1．

Answer 1

分析：（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，其△=0，进而得到一个关于m的方程，求解后代入原函数进而求得交点坐标；
（2）根据与横轴两交点之间的距离等于1，得到一个有关m的方程，然后求得m的值．

解答：解：（1）①若m=0，函数为一次函数，
图象为直线，必与x轴只有一个交点．
原方程即y=-x+1，当y=0时，x=1，
所以与x轴交点为（1，0）
②若m≠0，函数为二次函数，
抛物线与x轴只有一个交点时，b²-4ac=0，且

b2-4ac=(m-1)2-4m(-2m+1) =9m2-6m+1 =(3m-1)2

即（3m-1）²=0
解得m1，2=

1

3

原方程即y=

1

3

x2-

2

3

x+

1

3

，
当y=0时，x_1，2=1，所以与x轴交点为（1，0）

（2）函数图象与x轴相交于AB两点，
即当y=0时，mx²+（m-1）x-2m+1=0，
解得x1=1，x2=

1-2m

m

又AB=1，即|

1-2m

m

-1|=1
解得m1=

1

2

，m2=

1

4

，经检验，结论成立．

点评：本题时一道二次函数与一元二次方程相结合的题目，同时本题还渗透了分类讨论思想，同时还提醒学生们注意二次项系数不能为0．