题目内容

【题目】如图,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,直线EF交正方形外角的平分线于点F,交DC于点G,且AE⊥EF.

(1)当AB=2时,求GC的长;

(2)求证:AE=EF.

【答案】(1) (2)证明见解析

【解析】

试题(1)由△ABE∽△ECG,得到ABEC=BEGC,从而求得GC的长即可求得SGEC

2)取AB的中点H,连接EH,利用ASA证明△AHE≌△ECF,从而得到AE=EF

试题解析:(1∵AB=BC=2,点EBC的中点,∴BE=EC=1∵AE⊥EF∴△ABE∽△ECG∴ABEC=BEGC,即:21=1GC,解得:GC=∴SGEC=ECCG=×1×=

2)取AB的中点H,连接EH∵ABCD是正方形,AE⊥EF∴∠1+∠AEB=90°∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2∵BH=BE∠BHE=45°,且∠FCG=45°∴∠AHE=∠ECF=135°AH=CE∴△AHE≌△ECF∴AE=EF

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