Question

（1997•甘肃）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-2，-3）、B（3，2）两点，且与x轴相交于M、N两点，当以线段MN为直径的圆的面积最小时，求M、N两点的坐标和四边形AMBN的面积．

Answer 1

分析：将点A、B的坐标分别代入已知函数解析式，即可求得以a表示的b、c的值；然后由两点间的距离公式求得MN=

( 1 a +1)2+24

，由二次函数的最值求得：
当a=-1时，MN_最小=2

6

．从而易求点M、N的坐标；最后根据四边形的面积=两个三角形的面积之和来求四边形AMBN的面积．

解答：解：由抛物线经过A（-2，-3）、B（3，2）两点可得b=1-a，c=-（1+6a）
∴MN=丨x₁-x₂丨=|

b2-4ac

a

|=|±

25a2+2a+1 a2

|=

( 1 a )2+ 2 a +25

=

( 1 a +1)2+24

．
当a=-1时，MN_最小=2

6

此时，b=2，c=5，
∴函数的解析式为：y=-x²+2x+5．
∴M（1-

6

，0），N（1+

6

，0），
此时，四边形AMBN的面积S=

1

2

MN•（|y_A|+|y_B|）=

1

2

×2

6

×（3+2）=5

6

．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，根与系数的关系与代数式的变形，二次函数最值的求法以及三角形面积的计算．在求四边形AMBN的面积时，采用了“分割法”．