题目内容
(2013•镇江)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点D在边AB的延长线上,BD=3,过点D作DE⊥AB,与边AC的延长线相交于点E,以DE为直径作⊙O交AE于点F.
(1)求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离;
(2)连接CD,交⊙O于点G(如图2).求证:点G是CD的中点.
(1)求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离;
(2)连接CD,交⊙O于点G(如图2).求证:点G是CD的中点.
分析:(1)根据勾股定理求出AC,证△ACB∽△ADE,得出
=
=
,代入求出DE=6,AE=10,过O作OQ⊥EF于Q,证△EQO∽△EDA,代入求出OQ即可;
(2)连接EG,求出EG⊥CD,求出CE=ED,根据等腰三角形的性质求出即可.
BC |
DE |
AC |
AD |
AB |
AE |
(2)连接EG,求出EG⊥CD,求出CE=ED,根据等腰三角形的性质求出即可.
解答:解:(1)∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,由勾股定理得:AC=4,
∵AB=5,BD=3,
∴AD=8,
∵∠ACB=90°,DE⊥AD,
∴∠ACB=∠ADE,
∵∠A=∠A,
∴△ACB∽△ADE,
∴
=
=
∴
=
=
∴DE=6,AE=10,
即⊙O的半径为3;
过O作OQ⊥EF于Q,
则∠EQO=∠ADE=90°,
∵∠QEO=∠AED,
∴△EQO∽△EDA,
∴
=
,
∴
=
,
∴OQ=2.4,
即圆心O到弦EF的距离是2.4;
(2)连接EG,
∵AE=10,AC=4,
∴CE=6,
∴CE=DE=6,
∵DE为直径,
∴∠EGD=90°,
∴EG⊥CD,
∴点G为CD的中点.
∵AB=5,BD=3,
∴AD=8,
∵∠ACB=90°,DE⊥AD,
∴∠ACB=∠ADE,
∵∠A=∠A,
∴△ACB∽△ADE,
∴
BC |
DE |
AC |
AD |
AB |
AE |
∴
3 |
DE |
4 |
8 |
5 |
AE |
∴DE=6,AE=10,
即⊙O的半径为3;
过O作OQ⊥EF于Q,
则∠EQO=∠ADE=90°,
∵∠QEO=∠AED,
∴△EQO∽△EDA,
∴
EO |
AE |
OQ |
AD |
∴
3 |
10 |
OQ |
8 |
∴OQ=2.4,
即圆心O到弦EF的距离是2.4;
(2)连接EG,
∵AE=10,AC=4,
∴CE=6,
∴CE=DE=6,
∵DE为直径,
∴∠EGD=90°,
∴EG⊥CD,
∴点G为CD的中点.
点评:本题考查了圆周角定理,相似三角形的性质和判定,等腰三角形性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
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