Question

如图所示，已知A点的坐标为（6，0），B是y轴正半轴上的一动点，直线AB交直线y=

1

2

x于点C，矩形ADEF的顶点D、E分别在直线y=

1

2

x和直线AB上，顶点F在x轴上．
（1）若点B的坐标为（0，4）．
①求直线AB所表示的函数关系式；
②求△OAC的面积；
③求矩形ADEF的边DE与AD的长；
（2）若矩形ADEF是正方形，求B点的坐标．

Answer 1

分析：（1）①用待定系数法求直线AB的解析式．
②由两个直线的解析式组成方程组求出C点坐标，再求出△OAC的面积．
③先通过A点坐标由y=

1

2

x确定D点坐标，再确定E点坐标，从而得到矩形的边长．
（2）由正方形的性质得到∠BAO=45°，得到B点坐标．

解答：解：（1）①设直线AB所表示的函数关系式为：y=kx+b（1分）
∵直线经过A（6，0）、B（0，4）
∴

4=b 0=6k+b

解得

k=- 2 3 b=4

∴直线AB所表示的函数关系式为：y=-

2

3

x+4．（3分）
②由

y= 1 2 x y=- 2 3 x+4

得

x= 24 7 y= 12 7

（5分）
所以C点的坐标为（

24

7

，

12

7

）
所以S△OAC=

1

2

OA•|yc|=

1

2

×6×

12

7

=

36

7

．（6分）
③把x=6代入y=

1

2

x，得y=3（7分）
∴D点有坐标为（6，3）
在y=-

2

3

x+4中，令y=3，得x=

3

2

（8分）
所以E点的坐标为（

3

2

，3）∴DE=6-

3

2

=

9

2

，AD=3；（9分）

（2）解法一：在正方形ADEF中，∠EAF=45°（10分）
在Rt△OAB中，∠OBA=90°-∠EAF=45°
∴∠EAF=∠OBA（11分）
∴OB=OA=6（12分）
所以B点的坐标为（0，6）（13分）
解法二：在正方形ADEF中，EF=AF=AD=3
∴OF=OA-AF=6-3=3
所以点E的坐标为（3，3）（10分）
设直线AE的表达式为y=mx+n
则解得

m=-1 n=6

所以直线AE为y=-x+6（12分）
在y=-x+6中，令x=0，得y=6
所以B点的坐标为（0，6）．（13分）

点评：熟练运用待定系数法求直线的解析式；掌握两条直线交点坐标的求法，转化为求方程组的解；掌握矩形的性质；理解与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点．