Question

已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别是2

2

、2

3

，则∠CAB所夹的圆内部分的面积=

 

．

Answer 1

分析：根据两条弦的长分别求出两条弦所对的圆心角的度数和两条弦的弦心距，然后求出两条弦所对的弓形的面积，进而分两种情况分别求出两弦所成的角所夹的圆内部分的面积．

解答：解：如图：作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，连接OA，
∵AB=2

3

，AC=2

2

，
∴AD=

3

，AE=

2

，
∵OA=2，
∴OD=1，OE=

2

，
∴∠DOA=60°，∠AOE=45°，
∴∠COA=120°，∠AOB=90°，
∴S_弓形AC=S_扇形OAC-S_△OAC=

120π×22

360

-

2 3 ×1

2

=

4

3

π-

3

，
S弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

90π×22

360

-

2 2 × 2

2

=π-2，

∴①当两条弦在圆心的异侧时，如图1，
∠CAB所夹的圆内部分的面积=S_圆O-S_弓形AC-S_弓形AB=π×2²-（

4

3

π-

3

）-（π-2）=

5π

3

+2+

3

；
②当两条弦在圆心的同侧时，如图2，
∠CAB所夹的圆内部分的面积=S_弓形AC-S_弓形AB=（

4

3

π-

3

）-（π-2）=

π

3

+2-

3

．
故答案为：

5π

3

+2+

3

或

π

3

+2-

3

．

点评：本题考查了扇形及弓形面积的计算、垂径定理及勾股定理的知识，正确的解题的关键是分两种情况讨论．