题目内容
基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，
（1）模型拓展
如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？
（2）模型应用
①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；
②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？
【答案】分析：（1）由∠A=180°-（∠B+∠APB）和∠CPD=180°-（∠1+∠APB），可得出∠B=∠1，则∠A=∠CPD，从而证明△ABP∽△PCD；
（2）①由四边形ABCD是等腰梯形，则∠B=∠C，∠B=∠APQ=∠C，再由（1）知，△ABP∽△PCD，从而得出CQ；
②设BP=x，CQ=y．由∠B=∠APQ=90°，则△ABP∽△PCQ，再由相似三角形的性质，得出y与x之间的函数关系式，即y=-x2+x=-（x-
）2+
，根据二次函数的性质得出答案．
解答：解：（1）成立，
∵∠A=180°-（∠B+∠APB），
∠CPD=180°-（∠1+∠APB），
∠B=∠1，
∴∠A=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠APQ，
∴∠B=∠APQ=∠C，
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴
=
，
∴
=
，
∴CQ=
；
②设BP=x，CQ=y．
∵∠B=∠APQ=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴
=
，即
=
，
∴y=-x2+x=-（x-
）2+
，
∴当x=
时，y最大=
，
即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为
．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题、正方形的性质以及等腰三角形的性质，是一道综合题，难度较大．
（2）①由四边形ABCD是等腰梯形，则∠B=∠C，∠B=∠APQ=∠C，再由（1）知，△ABP∽△PCD，从而得出CQ；
②设BP=x，CQ=y．由∠B=∠APQ=90°，则△ABP∽△PCQ，再由相似三角形的性质，得出y与x之间的函数关系式，即y=-x2+x=-（x-
）2+，根据二次函数的性质得出答案．解答：解：（1）成立，
∵∠A=180°-（∠B+∠APB），
∠CPD=180°-（∠1+∠APB），
∠B=∠1，
∴∠A=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠APQ，
∴∠B=∠APQ=∠C，
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴
=，∴
=，∴CQ=
；②设BP=x，CQ=y．
∵∠B=∠APQ=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴
=，即=，∴y=-x2+x=-（x-
）2+，∴当x=
时，y最大=，即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为
．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题、正方形的性质以及等腰三角形的性质，是一道综合题，难度较大．
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