Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=9cm，CD=3cm，AD=6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向终点D运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
（1）当DQ=AP时，四边形APQD是平行四边形，求出此时t的值；
（2）当PQ将梯形ABCD分成一个平行四边形和一个等边三角形时，求t的值；
（3）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由平行四边形对边相等的性质，求出t值；
（2）当PQ将梯形ABCD分成一个平行四边形和一个等边三角形时，即Q点运动到D点时，t值为3秒；
（3）先假设存在，求一下t的值，若符合题意则存在，不合题意则不存在．

解答：解：（1）∵四边形APQD是平行四边形，
∴DQ=AP，即3-t=2t，解得t=1（s），

（2）当PQ将梯形ABCD分成一个平行四边形和一个等边三角形时，Q点运动到D点，即
9-2t=3，解得t=3；

（3）假设存在这样的t值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，即S_梯形APQD=S_梯形BPQC，
过点DDE⊥AB，DF∥BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∵AB=9cm，CD=3cm，AF=AB-BF=AB-CD=6cm，AD=BC=DF=6cm，
∴△ADF是等边三角形，
∴由勾股定理得DE=3

3

，

3 3

2

(3-t+2t)=

3 3

2

(t+9-2t)，解得，t=3，
∴t=3时，四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．即（2）中的情况．

点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用．还考查了动点问题，分类讨论的思想．