如图.点B1(1.y1).B2(2.y2).B3(3.y3)-.Bn(n.yn)依次为一次函数y=14x+112的图象上的点.点A1(x1.0).A2(x2.0).A3(x3.0).-.An(xn.0)依次是x轴正半轴上的点.已知x1=a.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4-△AnBnAn+1分别是以B1.B2.B3.-.Bn为顶点的等腰三角形．(1)写出B2.Bn两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…，B_n（n，y_n）（n是正整数）依次为一次函数y=

的图象上的点，点A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x₁=a（0＜a＜1），△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…△A_nB_nA_n+1分别是以B₁，B₂，B₃，…，B_n为顶点的等腰三角形．
（1）写出B₂，B_n两点的坐标；
（2）求x₂，x₃（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；
（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）因为点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃）…，B_n（n，y_n）（n是正整数）依次为一次函数y=

的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可；
（2）因为△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄…△A_nB_nA_n+1分别是以B₁，B₂，B₃，…，B_n为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x₂-1=1-x₁，x₃-2=2-x₂，其中x₁=a，所以x₂=2-a，x₃=4-x₂=2+a，
分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B₁，B₃，B₅，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a；顶点为B₂，B₄，B₆，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；
（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高y_n的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（

)，化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有2a=2（

)，同样化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值．

解答：解：（1）B2(2，

)，Bn(n，

)；

（2）x₂=2-a，x₃=2+a，
结论1：顶点为B₁，B₃，B₅，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a，
结论2：顶点为B₂，B₄，B₆，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，
结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．

（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高y_n的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（

)，化简得：n=-4a+

(0＜a＜1)，
∴-

＜n＜

，∴n=1或3
∴a=

或

，
当n为偶数时，有2a=2(

)，得：n=4a-

(0＜a＜1)，
∴-

＜n＜

，∴n=2
∴a=

，
综上所述，存在直角三角形，且a=

或

．

点评：本题需利用数形结合的思想，灵活运用一次函数同等腰三角形的性质来解决问题．

练习册系列答案

相关题目

（2013•本溪）如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OB₁A₁的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是

310

．

如图，点B₁是抛物线的顶点，点A₁、A₂都在该抛物线上，四边形OA₁B₁C₁、OA₂B₂C₂均为正方形，点B₂在y轴上，直线C₂B₂与该抛物线交于点，则的值是．

如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OBA的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　．

试题分类