题目内容
如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=| 1 |
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（1）写出B2，Bn两点的坐标；
（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；
（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=
x+
的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可；
（2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x2-1=1-x1，x3-2=2-x2，其中x1=a，所以x2=2-a，x3=4-x2=2+a，
分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；
（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（
+
)，化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有2a=2（
+
)，同样化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值．
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（2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x2-1=1-x1，x3-2=2-x2，其中x1=a，所以x2=2-a，x3=4-x2=2+a，
分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；
（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（
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| n |
| 4 |
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解答：解：（1）B2(2，
)，Bn(n，
+
)；
（2）x2=2-a，x3=2+a，
结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a，
结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，
结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．
（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（
+
)，化简得：n=-4a+
(0＜a＜1)，
∴-
＜n＜
，∴n=1或3
∴a=
或
，
当n为偶数时，有2a=2(
+
)，得：n=4a-
(0＜a＜1)，
∴-
＜n＜
，∴n=2
∴a=
，
综上所述，存在直角三角形，且a=
或
或
．
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| n |
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（2）x2=2-a，x3=2+a，
结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a，
结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，
结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．
（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
当n为奇数时，有2-2a=2（
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∴-
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∴a=
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当n为偶数时，有2a=2(
| n |
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∴-
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∴a=
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综上所述，存在直角三角形，且a=
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点评：本题需利用数形结合的思想，灵活运用一次函数同等腰三角形的性质来解决问题．
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（2013•本溪）如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是
的顶点，点A1、A2都在该抛物线上，四边形OA1B1C1、OA2B2C2均为正方形，点B2在y轴上，直线C2B2与该抛物线交于点
，则
的值是 ． 
的顶点，点A1、A2都在该抛物线上，四边形OA1B1C1、OA2B2C2均为正方形，点B2在y轴上，直线C2B2与该抛物线交于点
，则
的值是 ．
