题目内容

两直线相交于y轴上一点A，分别交x轴与B，C，且两直线互相垂直，若点A坐标为（0，1），B点坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　）
A、（-
1
2
，0）
B、（
1
2
，0）
C、(-
2
2
，0)
D、（
2
2
，0）
分析：易证△OAB∽△ACB，即可求得
AC
AB
=
OA
OB
，已知AB、OA、OB即可求得OC的长，即可解题．
解答：精英家教网解：∵∠BAC=90°，∠BOA=90°
∴△OAB∽△ACB，
∴
AC
AB
=
OA
OB
=
1
2
，
∴AC=
5
2
，
故OC=
1
2
，
∴C点坐标为（-
1
2
，0）．
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的证明，相似三角形对应边比值相等相等的性质，本题中求证△OAB∽△ACB是解题的关键．
练习册系列答案
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“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
1
x
的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
1
3
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设P（a，
1
a
）、R（b，
1
b
），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明精英家教网∠MOB=
1
3
∠AOB；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）
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（2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
1
x
的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
1
3
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
①设P（a，
1
a
）、R（b，
1
b
），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
1
3
∠AOB．
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数学家帕普斯借助函数给出一种“三等分锐角”的方法，步骤如下：
①将锐角∠AOB置于平面直角坐标系中，其中以点O为坐标原点，边OB在x轴上；
②边OA与函数y=
1
x
(x＞0)的图象交于点P，以P为圆心，2倍OP的长为半径作弧，在∠AOB内部交函数y=
1
x
(x＞0)的图象于点R；
③过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM．则∠MOB=
1
3
∠AOB．
请根据以上材料，完成下列问题：

（1）应用上述方法在图1中画出∠AOB的三等分线OM；
（2）设P(a，
1
a
)，R(b，
1
b
)，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（3）证明：∠MOB=
1
3
∠AOB；
（4）应用上述方法，请尝试将图2所示的钝角三等分．
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
（2005•佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

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