Question

数学家帕普斯借助函数给出一种“三等分锐角”的方法，步骤如下：
①将锐角∠AOB置于平面直角坐标系中，其中以点O为坐标原点，边OB在x轴上；
②边OA与函数y=

1

x

(x＞0)的图象交于点P，以P为圆心，2倍OP的长为半径作弧，在∠AOB内部交函数y=

1

x

(x＞0)的图象于点R；
③过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM．则∠MOB=

1

3

∠AOB．
请根据以上材料，完成下列问题：

（1）应用上述方法在图1中画出∠AOB的三等分线OM；
（2）设P(a，

1

a

)，R(b，

1

b

)，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（3）证明：∠MOB=

1

3

∠AOB；
（4）应用上述方法，请尝试将图2所示的钝角三等分．

Answer 1

分析：（1）根据题意所述步骤即可作出∠AOB的三等分线OM；
（2）根据点P、点R的坐标可得出点M的坐标，继而可得出直线OM的解析式．
（3）过点P作y轴的平行线，过点R作x轴的平行线，两线相交于点Q，根据点Q的坐标可确定点Q在直线OM上，则可得四边形PQRM是矩形，由∠PON=∠PNO=2∠PMN=2∠MOB，可得出结论；
（4）方法不止一种，可以按照题意叙述的方法进行作图．

解答：（1）解：如图所示：
；

（2）解：由图1可得点M的坐标为（b，

1

a

），
故可得直线OM的表达式为：y=

1

ab

x．

（3）证明：过点P作y轴的平行线，过点R作x轴的平行线，两线相交于点Q，

则点Q的坐标为（a，

1

b

），
∴点Q在OM上，
∴四边形PQRM是矩形，
∴PN=

1

2

PR=OP，
∴MQ=PR，
∴PN=MN，
∴∠MOB=∠PMN=

1

2

∠PNO=

1

2

∠AOM，
∴∠MOB=

1

3

∠AOB．

（4）解：边OA与函数y=-

1

x

（x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP的长为半径作弧，
在第四象限交函数y=-

1

x

（x＞0）的图象于点R，
过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB=

1

3

∠AOB．．

点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了代行系数法求直线解析式的知识，解答本题的关键是仔细读题，明白题目给出的信息，在解题时注意活学活用．