题目内容

【题目】问题提出(1)如图①,在ABC中,BC6DBC上一点,AD4,则ABC面积的最大值是   

问题探究(2)如图②,已知矩形ABCD的周长为12,求矩形ABCD面积的最大值.

问题解决(3)如图③,ABC是葛叔叔家的菜地示意图,其中AB30米,BC40米,AC50米,现在他想利用周边地的情况,把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地,用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD,且满足∠ADC60°.你认为葛叔叔的想法能否实现?若能,求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能,请说明理由.

【答案】112;(29;(3)能实现;170(米).

【解析】

1)当ADBC时,△ABC的面积最大.

2)由题意矩形邻边之和为6,设矩形的一边为m,另一边为6m,可得Sm6m)=﹣(m32+9,利用二次函数的性质解决问题即可.

3)由题意,AC100,∠ADC60°,即点D在优弧ADC上运动,当点D运动到优弧ADC的中点时,四边形鱼塘面积和周长达到最大值,此时△ACD为等边三角形,计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值.

1)如图①中,

BC6AD4

∴当ADBC时,△ABC的面积最大,最大值=×6×412

故答案为12

2)∵矩形的周长为12

∴邻边之和为6,设矩形的一边为m,另一边为6m

Sm6m)=﹣(m32+9

∵﹣10

m3时,S有最大值,最大值为9

3)如图③中,

AC50米,AB40米,BC30米,

AC2AB2+BC2

∴∠ABC90°

作△AOC,使得∠AOC120°OAOC,以O为圆心,OA长为半径画⊙O

∵∠ADC60°

∴点D在优弧ADC上运动,

当点D是优弧ADC的中点时,四边形ABCD面积取得最大值,

D是优弧ADC上任意一点,连接ADCD,延长CDF,使得DFDA,连接AF,则∠AFC30°ADC

∴点FD为圆心DA为半径的圆上,

DFDA

DF+DCCF

DA+DCDA+DC

DA+DC+ACDA+DC+AC

∴此时四边形ADCB的周长最大,最大值=40+30+50+50170(米).

答:这个四边形鱼塘周长的最大值为170(米).

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