题目内容
【题目】问题提出(1)如图①,在△ABC中,BC=6,D为BC上一点,AD=4,则△ABC面积的最大值是 .
问题探究(2)如图②,已知矩形ABCD的周长为12,求矩形ABCD面积的最大值.
问题解决(3)如图③,△ABC是葛叔叔家的菜地示意图,其中AB=30米,BC=40米,AC=50米,现在他想利用周边地的情况,把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地,用来建鱼塘.已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD,且满足∠ADC=60°.你认为葛叔叔的想法能否实现?若能,求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能,请说明理由.
【答案】(1)12;(2)9;(3)能实现;170(米).
【解析】
(1)当AD⊥BC时,△ABC的面积最大.
(2)由题意矩形邻边之和为6,设矩形的一边为m,另一边为6﹣m,可得S=m(6﹣m)=﹣(m﹣3)2+9,利用二次函数的性质解决问题即可.
(3)由题意,AC=100,∠ADC=60°,即点D在优弧ADC上运动,当点D运动到优弧ADC的中点时,四边形鱼塘面积和周长达到最大值,此时△ACD为等边三角形,计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值.
(1)如图①中,
∵BC=6,AD=4,
∴当AD⊥BC时,△ABC的面积最大,最大值=×6×4=12.
故答案为12.
(2)∵矩形的周长为12,
∴邻边之和为6,设矩形的一边为m,另一边为6﹣m,
∴S=m(6﹣m)=﹣(m﹣3)2+9,
∵﹣1<0,
∴m=3时,S有最大值,最大值为9.
(3)如图③中,
∵AC=50米,AB=40米,BC=30米,
∴AC2=AB2+BC2
∴∠ABC=90°,
作△AOC,使得∠AOC=120°,OA=OC,以O为圆心,OA长为半径画⊙O,
∵∠ADC=60°,
∴点D在优弧ADC上运动,
当点D是优弧ADC的中点时,四边形ABCD面积取得最大值,
设D′是优弧ADC上任意一点,连接AD′,CD′,延长CD′到F,使得D′F=D′A,连接AF,则∠AFC=30°=∠ADC,
∴点F在D为圆心DA为半径的圆上,
∴DF=DA,
∵DF+DC≥CF,
∴DA+DC≥D′A+D′C,
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC,
∴此时四边形ADCB的周长最大,最大值=40+30+50+50=170(米).
答:这个四边形鱼塘周长的最大值为170(米).
