Question

25、设关于x一次函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂，我们称函数y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）为这两个函数的生成函数．
（1）请你任意写出一个y=x+1与y=3x-1的生成函数的解析式；
（2）当x=c时，求y=x+c与y=3x-c的生成函数的函数值；
（3）若函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象的交点为P（a，5），当a₁b₁=a₂b₂=1时，求代数式m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na的值．

Answer 1

分析：（1）可以任取一对m、n的值代入求得生成的函数解析式；
（2）将x=c代入得到y=m（x+c）+n（3x-c）=2c（m+n），然后再将m+n=1代入得到y=2c（m+n）=2c；
（3）将点 P （a，5）代入y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂得到a₁a+b₁=5，a₂a+b₂=5，然后表示出a₁²a²+b₁²=（ a₁a+b₁）²-2 aa₁b₁=5²-2 aa₁b₁，a₂²a²+b₂²=（a₂a+b₂）²-2aa₂b₂=5²-2aa₂b₂．再把a₁b₁=a₂b₂=1代入整理即可求得代数式的值．

解答：解：（1）答案不唯一．比如取m=2时，n=-1．
生成函数为y=2（x+1）-（3x-1）=-x+3，即y=-x+3．…（1分）

（2）当x=c时，y=m（x+c）+n（3x-c）=2c（m+n）．…（2分）
∵m+n=1，
∴y=2c（m+n）=2c．…（3分）

（3）∵点 P （a，5）在y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象上，
∴a₁a+b₁=5，a₂a+b₂=5．…（4分）
∴a₁²a²+b₁²=（ a₁a+b₁）²-2 aa₁b₁=5²-2 aa₁b₁，a₂²a²+b₂²=（a₂a+b₂）²-2aa₂b₂=5²-2aa₂b₂．
当 a₁b₁=a₂b₂=1时，
m（a₁²a²+b₁²）+n （a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=m （5²-2a ）+n（5²-2a）+2ma+2na=25（m+n）．
∵m+n=1，
∴m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=25（m+n）=25．…（6分）

点评：本题考查了一次函数的综合知识，解题的关键是通过阅读题目弄明白如何求生成函数的解析式．