Question

设关于x一次函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂，我们称函数y=m（a₁x+b₁）+n（a₂x+b₂）（其中m+n=1）为这两个函数的生成函数．
（1）请你任意写出一个y=x+1与y=3x﹣1的生成函数的解析式；
（2）当x=c时，求y=x+c与y=3x﹣c的生成函数的函数值；
（3）若函数y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象的交点为P（a，5），当a₁b₁=a₂b₂=1时，求代数式m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na的值．

Answer 1

解：（1）答案不唯一．比如取m=2时，n=﹣1．生成函数为y=2（x+1）﹣（3x﹣1）=﹣x+3，即y=﹣x+3．
（2）当x=c时，y=m（x+c）+n（3x﹣c）=2c（m+n）．
∵m+n=1，
∴y=2c（m+n）=2c．
（3）∵点 P （a，5）在y=a₁x+b₁与y=a₂x+b₂的图象上，
∴a₁a+b₁=5，a₂a+b₂=5．
∴a₁²a²+b₁²=（ a₁a+b₁）²﹣2 aa₁b₁=5²﹣2 aa₁b₁，a₂²a²+b₂²=（a₂a+b₂）²﹣2aa²b²=5²﹣2aa²b²．当 a₁b₁=a₂b₂=1时， m（a₁²a²+b₁²）+n （a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=m （5²﹣2a ）+n（5²﹣2a）+2ma+2na=25（m+n）．
∵m+n=1，
∴m（a₁²a²+b₁²）+n（a₂²a²+b₂²）+2ma+2na=25（m+n）=25．