题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交AB于点F.
(1)求证:AE为⊙O的切线;
(2)当BC=4,AC=6时,求⊙O的半径;
(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.

【答案】
(1)证明:连接OM,如图1,

∵BM是∠ABC的平分线,

∴∠OBM=∠CBM,

∵OB=OM,

∴∠OBM=∠OMB,

∴∠CBM=∠OMB,

∴OM∥BC,

∵AB=AC,AE是∠BAC的平分线,

∴AE⊥BC,

∴OM⊥AE,

∴AE为⊙O的切线


(2)解:设⊙O的半径为r,

∵AB=AC=6,AE是∠BAC的平分线,

∴BE=CE= BC=2,

∵OM∥BE,

∴△AOM∽△ABE,

= ,即 = ,解得r=

即设⊙O的半径为


(3)解:作OH⊥BE于H,如图,

∵OM⊥EM,ME⊥BE,

∴四边形OHEM为矩形,

∴HE=OM=

∴BH=BE﹣HE=2﹣ =

∵OH⊥BG,

∴BH=HG=

∴BG=2BH=1.


【解析】(1)连接OM,如图1,先证明OM∥BC,再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC,则OM⊥AE,然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线;(2)设⊙O的半径为r,利用等腰三角形的性质得到BE=CE= BC=2,再证明△AOM∽△ABE,则利用相似比得到 = ,然后解关于r的方程即可;(3)作OH⊥BE于H,如图,易得四边形OHEM为矩形,则HE=OM= ,所以BH=BE﹣HE= ,再根据垂径定理得到BH=HG= ,所以BG=1.

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