题目内容

（2012•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=
12
x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．
（1）求M，N的坐标．
（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．
分析：（1）解两条直线的解析式组成的方程组的解，即可求得交点M的坐标，在y=-x+6中，令y=0即可求得点N的横坐标，则N的坐标即可求解；
（2）分成0≤t≤1，1＜t≤4，4＜t≤5，5＜t≤6，6＜t≤7五种情况，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式，即可求得函数的解析式；
（3）分别求得每种情况下函数的最值或函数值的范围，即可确定．
解答：解：（1）解方程组
y=
1
2
x
y=-x+6
，
解得：
x=4
y=2
，
则M的坐标是：（4，2）．
在解析式y=-x+6中，令y=0，解得：x=6，则N的坐标是：（6，0）．

（2）当0≤t≤1时，重合部分是一个三角形，OB=t，则高是
1
2
t，则面积是
1
2
×t•
1
2
t=
1
4
t2；
当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是：
1
2
t，上底是：
1
2
（t-1），根据梯形的面积公式可以得到：S=
1
2
[
1
2
t+
1
2
（t-1）]=
1
2
（t-
1
2
）；
当4＜t≤5时，过M作x轴的垂线，则重合部分被垂线分成两个直角梯形，两个梯形的下底都是2，上底分别是：-t+6和
1
2
（t-1），根据梯形的面积公式即可求得
S=-
3
4
t2+
13
2
t-
49
4
；
当5＜t≤6时，重合部分是直角梯形，与当1＜t≤4时，重合部分是直角梯形的计算方法相同，则S=
1
2
（13-2t）；
当6＜t≤7时，重合部分是直角三角形，则与当0≤t≤1时，解法相同，可以求得S=
1
2
（7-t）2．

则：S=
1
4
t2(0≤t≤1)
1
2
(t-
1
2
)(1＜t≤4)
-
3
4
t2+
13
2
t-
49
4
(4＜t≤5)
1
2
(13-2t)(5＜t≤6)
1
2
(7-t)2(6＜t≤7)
；

（3）在0≤t≤1时，函数值y随t的增大而增大，则当t=1时，取得最大值是：
1
4
；
当1＜t≤4，函数值y随t的增大而增大，则当t=4时，取得最大值是：
1
2
（4-
1
2
）=
7
4
；
当4＜t≤5时，是二次函数，对称轴t=
13
3
，则最大值是：-
3
4
×（
13
3
）2+
13
2
×
13
3
-
49
4
=
11
6
；
当5＜t≤6时，函数值y随t的增大而减小，无最大值；
同理，当6＜t≤7时，y随t的增大而减小，无最大值．
总之，函数的最大值是：
11
6
．
点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及联立两函数解析式求交点坐标，面积求解，求分段函数的解析式，二次函数的增减性，正确表示出函数的解析式是解题的关键．
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