题目内容
（2012•宿迁）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b．（1）求CD的长度（用a，b表示）；
（2）求EG的长度（用a，b表示）；
（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．
分析：（1）由AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，根据切线的判定方法得到DA、BC为半圆O的切线，而CD与以AB为直径的半圆相切于点E，根据切线长定理得到DE=DA=a，CE=CB=b，即有CD=a+b；
（2）易得EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理有EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），即可表示出EG=
；
（3）由EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理
=
，即
=
，由GF∥AD得到
=
，即
=
，则
+
=
+
=1，然后把EG=
代入计算即可得到FG=
，即可得到EG=FG．
（2）易得EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理有EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），即可表示出EG=
| ab |
| a+b |
（3）由EG∥BC，根据平行线分线段成比例定理
| DG |
| DB |
| EG |
| BC |
| EG |
| b |
| DG |
| DB |
| FG |
| AD |
| BG |
| BD |
| FG |
| a |
| BG |
| BD |
| EG |
| b |
| FG |
| a |
| DG |
| BD |
| BG |
| BD |
| ab |
| a+b |
| ab |
| a+b |
解答：解：（1）∵AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，
∴DA、BC为半圆O的切线，
又∵CD与以AB为直径的半圆相切于点E，
∴DE=DA=a，CE=CB=b，
∴CD=a+b；
（2）∵EF⊥AB，
∴EG∥BC，
∴EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），
∴EG=
；
（3）EG与FG相等．理由如下：
∵EG∥BC，
∴
=
，即
=
①，
又∵GF∥AD，
∴
=
，即
=
②，
①+②得
+
=
+
=1，
而EG=
，
∴
+
=1，
∴FG=
，
∴EG=FG．
∴DA、BC为半圆O的切线，
又∵CD与以AB为直径的半圆相切于点E，
∴DE=DA=a，CE=CB=b，
∴CD=a+b；
（2）∵EF⊥AB，
∴EG∥BC，
∴EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），
∴EG=
| ab |
| a+b |
（3）EG与FG相等．理由如下：
∵EG∥BC，
∴
| DG |
| DB |
| EG |
| BC |
| EG |
| b |
| DG |
| DB |
又∵GF∥AD，
∴
| FG |
| AD |
| BG |
| BD |
| FG |
| a |
| BG |
| BD |
①+②得
| EG |
| b |
| FG |
| a |
| DG |
| BD |
| BG |
| BD |
而EG=
| ab |
| a+b |
∴
| a |
| a+b |
| FG |
| a |
∴FG=
| ab |
| a+b |
∴EG=FG．
点评：本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；掌握圆的切线长定理；运用平行线分线段成比例定理进行线段之间的转化．
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