题目内容
如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直．现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E?D?A?B；
方案二：E?C?B?A．
经测量得AB=4
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（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．
分析：（1）如图所示，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．由于∠BDC=45°，∠ABD=15°，故利用三角形外角等于不相邻两个内角和知∠BAF=60°，即在直角三角形中，知道斜边求邻边用余弦得AF=ABcos60°=4
×
=2
（千米），又BF=ABsin60°=4
×
=6（千米）=DF所以可求出AD的值；
（2）过点B作BG⊥CD于G后，由矩形知BG=DF=6，由勾股定理知CG=8千米，有CD=CG+GD=14千米；
（3）由（2）得DE=CD-CE=8．方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8
）万元．故方案一的铺设电缆费用低．
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（2）过点B作BG⊥CD于G后，由矩形知BG=DF=6，由勾股定理知CG=8千米，有CD=CG+GD=14千米；
（3）由（2）得DE=CD-CE=8．方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8
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解答：解：（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．
由题意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，
BF=ABsin60°=4
×
=6（千米），
AF=ABcos60°=4
×
=2
（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2
（千米）．
即河宽AD为（6-2
）千米；
（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，CG=
=
=8（千米），
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的长为14千米；
（3）方案一的铺设电缆费用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，
方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8
）万元．
∵40＜32+8
，
∴方案一的铺设电缆费用低．
由题意得：∠BAF=∠ABD+∠ADB=15°+45°=60°，
在Rt△BFA中，
BF=ABsin60°=4| 3 |
| ||
| 2 |
AF=ABcos60°=4
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∵CD⊥AD，∠BDC=45°，
∴∠BDF=45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
∴DF=BF=6千米．
∴AD=DF-AF=6-2
| 3 |
即河宽AD为（6-2
| 3 |
（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，
∴BG=BF=6千米．
在Rt△BGC中，CG=
| BC2-BG2 |
| 102-62 |
∴CD=CG+GD=14千米．
即公路CD的长为14千米；
（3）方案一的铺设电缆费用低．
由（2）得DE=CD-CE=8千米．
∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD=40万元，
方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）=（32+8
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∵40＜32+8
| 3 |
∴方案一的铺设电缆费用低．
点评：解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，利用三角函数的知识，进行解答即可．
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