题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点.
(1)求这个二次函数以及直线BC的解析式;
(2)直接写出点A的坐标;
(3)当x为何值时,一次函数的值大于二次函数的值.
【答案】(1) , ;(2) (-1,0);(3) 0<x<3时
【解析】试题分析:
(1) 由于点B与点C既在一次函数的图象上又在二次函数的图象上. 考虑运用待定系数法确定这两个函数的解析式. 先将该一次函数的解析式设为一次函数的一般形式,再将点B与点C的坐标代入所设的解析式中得到关于待定系数的方程组,解这个方程组可以确定各待定系数的值,进而确定一次函数的解析式. 由于二次函数解析式的形式已经给出,所以将点B与点C的坐标代入该解析式并求得系数b和c的值,进而得到二次函数的解析式.
(2) 由于该二次函数的图象与x轴交于A与B两点,所以将y=0代入二次函数的解析式并求得相应的x的值. 根据点B的坐标,判断对应于点A坐标的x值,进而求得点A的坐标.
(3) 若一次函数的值大于二次函数的值,则该一次函数的相应图象应该在该二次函数相应图象的上方. 根据上述结论,观察本题给出的函数图象可知,一次函数图象在点C与点B之间的部分位于二次函数图象相应部分的上方. 根据点C与点B的横坐标即可得到符合题意的x的取值范围.
试题解析:
(1) 设直线BC的解析式为y=kx+b1.
由题意知,点B(3, 0)和点C(0, -3)在直线BC上,故将点B和点C的坐标分别代入直线BC的解析式,得
,
解之,得
.
∴直线BC的解析式为y=x-3.
由题意知,点B(3, 0)和点C(0, -3)在二次函数的图象上,故将点B和点C的坐标分别代入二次函数的解析式,得
,
解之,得
.
∴该二次函数的解析式为y=x2-2x-3.
综上所述,该二次函数的解析式为y=x2-2x-3,直线BC的解析式为y=x-3.
(2) 点A的坐标为(-1, 0). 具体求解过程如下.
根据题意,将y=0代入该二次函数的解析式,得
x2-2x-3=0,
解这个关于x的一元二次方程,得
x1=3,x2=-1.
∵点B的坐标为(3, 0),
∴点A的坐标为(-1, 0).
(3) 由函数的图象可知,在位于点C与点B之间的部分图象中,一次函数的图象在二次函数图象的上方.
∵点B的坐标为(3, 0)和点C的坐标为(0, -3),
∴当0<x<3时,一次函数的值大于二次函数的值.