题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,点M为AB上的一动点,将矩形ABCD沿某一直线对折,使点C与点M重合,该直线与AB(或BC)、CD(或DA)分别交于点P、Q

(1)用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线(不要求写画法,但要求保留作图痕迹)

(2)如果PQ与AB、CD都相交,试判断MPQ的形状并证明你的结论;

(3)设AM=x,d为点M到直线PQ的距离,,①求y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;

②当直线PQ恰好通过点D时,求点M到直线PQ的距离.

【答案】(1)作图见解析;(2)MPQ是等腰三角形;(3)

【解析】

试题分析:(1)作线段CM的垂直平分线即可;

(2)由矩形的性质得出ABCD,CD=AB=10,得出QCO=PMO,由折叠的性质得出PQ是CM的垂直平分线,由线段垂直平分线的性质得出CQ=MQ,由ASA证明OCQ≌△OMP,得出CQ=MP,得出MP=MQ即可;

(3)①作MNCD于N,如图2所示:则MN=AD=6,DN=AM=x,CN=10﹣x,在RtMCN中,由勾股定理得出,即可得出结果;

②当直线PQ恰好通过点D时,Q与D重合,DM=DC=10,由勾股定理求出AM,得出BM,再由勾股定理求出CM,即可得出结果.

试题解析:(1)如图1所示:

(2)MPQ是等腰三角形;理由如下:

四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=10,∴∠QCO=PMO,由折叠的性质得:PQ是CM的垂直平分线,CQ=MQ,OC=OM,在OCQ和OMP中,∵∠QCO=PMO,OC=OM,COQ=MOP∴△OCQ≌△OMP(ASA),CQ=MP,MP=MQ,即MPQ是等腰三角形;

(3)①作MNCD于N,如图2所示:

则MN=AD=6,DN=AM=x,CN=10﹣x,在RtMCN中,由勾股定理得:,即,整理得:,即(0x10);

②当直线PQ恰好通过点D时,如图3所示:

则Q与D重合,DM=DC=10,在RtADM中,AM==8,BM=10﹣8=2,CM===d=CM=,即点M到直线PQ的距离为

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