题目内容

如图所示，是两个相同的直角三角形拼成的梯形ABCD，直角三角形的三边长分别是a、b、c．
（1）求所拼成的梯形的面积；
（2）换一种思路求梯形的面积，并说明a、b、c存在数量关系：a²+b²=c²．

解：（1）根据梯形面积公式可知：
S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ （a+b）×（a+b），
= $\text{[math]}$ （a²+2ab+b²），
= $\text{[math]}$ a²+ab+ $\text{[math]}$ b²；

（2）∵△ABE≌△ECD，
∴∠AEB=∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠EDC=90°，
∴∠AED=180°-90°-90°，
∴S_梯形ABCD=S_△ABE+S_△ADE+S_△DEC= $\text{[math]}$ ab+ $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ ab=ab+ $\text{[math]}$ c²，
∴ $\text{[math]}$ a²+ab+ $\text{[math]}$ b²=ab+ $\text{[math]}$ c²，
∴a²+b²=c²．
分析：（1）根据梯形的面积公式可直接求出面积；
（2）利用△ABE≌△ECD，可得∠AEB=∠EDC，等量代换易求∠AEB+∠EDC=90°，从而可求∠AED是直角，于是可知梯形的面积等于3个直角三角形的面积和，（1）、（2）联合，可证a²+b²=c²．
点评：本题考查了三角形、梯形的面积公式、勾股定理的证明、全等三角形的性质．解题的关键是证明∠AED=90°．