Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BE于E，延长AF、EC交于点H，那么下列结论：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．其中正确结论的序号是________（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）

Answer 1

②③④
分析：根据勾股定理求出AC，推出∠ABO，得到等边三角形AOB，推出OA=AB=OB，∠ABO=∠BAO=∠AOB=60°，求出AB=BF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出BF=AB，根据三角形外角性质求出∠H=∠HAC，推出AC=CH，AF≠FH，根据矩形性质推出DE=OE=OD即可求出答案．
解答：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，AO=OC，OD=OB，AC=BD，
∴AO=OB=OD，
∵AB=1，AD=，由勾股定理得：AC=2，
∴∠ABD=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=OB，∠BAO=∠AOB=60°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BF=AB=OB，∴②正确；
∵CE⊥BD，∠DOC=∠AOB=60°，
∴∠ECO=30°，
∵∠FAC=60°-45°=15°，
∴∠H=∠ACE-∠CAF=15°=∠CAF，
∴AC=CH，∴③正确；
∵CF和AH不垂直，∴AF≠FH，∴①错误；
∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，
∴OE=OC=OD=DE，
BE=3DE，∴④正确．
故答案为：②③④．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，矩形的性质，平行线的性质，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．