Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．

（1）若∠BCD=36°，BC=10，求 的长；

（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）求证： .

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）DE与⊙O相切；（3）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）利用弧长公式计算即可；

（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；

（3）首先证明EF是△ADC的中位线，再证明△ACD∽△ABC即可解决问题；

试题解析：解：（1）连接OD．∵BC是直径，∴BC=10，∴OB=5，∵∠BCD=36°，∴∠BOD=72°，∴= =2π．

（2）DE与⊙O相切．理由如下：

连接OD．∵AE=EC，OB=OC，∴OE∥AB，∵CD⊥AB，∴OE⊥CD，∵OD=OC，∴∠DOE=∠COE，在△EOD和△EOC中，∵OD=OC，∠DOE=∠COE，OE=OE，∴△EOD≌△EOC，∴∠EDO=∠ECO=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．

（3）∵OE⊥CD，∴DF=CF，∵AE=EC，∴AD=2EF，∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AC2=ADAB，∵AC=2CE，∴4CE2=2EFAB，∴2CE2=EFAB．