题目内容

(本题满分10分)

在   ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE.

(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;

(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是          ;

(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是          ;

(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.

 

 

(1)平行四边形

(2)菱形

(3)菱形

(4)略

解析:(本小题满分10分)

解:(1)四边形EGFH是平行四边形.                    …………………………1分

证明:∵   ABCD的对角线AC、BD交于点O.

∴点O是   ABCD的对称中心.

∴EO=FO,GO=HO.

∴四边形EGFH是平行四边形.                          …………………………4分

(2)菱形.                                            …………………………5分

(3)菱形.                                            …………………………6分

(4)四边形EGFH是正方形.                           …………………………7分

证明:∵AC=BD,∴   ABCD是矩形. 又∵AC⊥BD, ∴  ABCD是菱形.

∴   ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°.OB=OC.

∵EF⊥GH ,∴∠GOF=90°.∴∠BOG=∠COF.

∴△BOG≌△COF.∴OG=OF,∴GH=EF.               …………………………9分

由(1)知四边形EGFH是平行四边形,又∵EF⊥GH,EF=GH.

∴四边形EGFH是正方形.                             …………………………10分

 

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