题目内容
(本题满分10分)
在 ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE.
(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是 ;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是 ;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
(1)平行四边形
(2)菱形
(3)菱形
(4)略
解析:(本小题满分10分)
解:(1)四边形EGFH是平行四边形. …………………………1分
证明:∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O.
∴点O是 ABCD的对称中心.
∴EO=FO,GO=HO.
∴四边形EGFH是平行四边形. …………………………4分
(2)菱形. …………………………5分
(3)菱形. …………………………6分
(4)四边形EGFH是正方形. …………………………7分
证明:∵AC=BD,∴ ABCD是矩形. 又∵AC⊥BD, ∴ ABCD是菱形.
∴ ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°.OB=OC.
∵EF⊥GH ,∴∠GOF=90°.∴∠BOG=∠COF.
∴△BOG≌△COF.∴OG=OF,∴GH=EF. …………………………9分
由(1)知四边形EGFH是平行四边形,又∵EF⊥GH,EF=GH.
∴四边形EGFH是正方形. …………………………10分