题目内容
如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等,已知BE=AD=4,求△ABC三边之长.
考点:三角形中位线定理,勾股定理
专题:
分析:设AD、BE相交于点G,取CE的中点F,连接DF,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF∥BE,DF=
BE,然后判断出GE是△ADF的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GE=
DF,再求出BG,然后利用勾股定理列式计算即可求出AB,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=AB,再根据BC=2BD求出BC的长度,利用勾股定理列式求出AE,然后根据AE=EF=CF求出AC,从而得解.
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解答:解:如图,设AD、BE相交于点G,取CE的中点F,连接DF,
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∴DF是△BCE的中位线,
∴DF∥BE,DF=
BE=
×4=2,
∵BE是∠ABC的平分线,BE⊥AD,
∴AG=GD=
AD=
×4=2,
∴GE是△ADF的中位线,
∴GE=
DF=
×2=1,
∵BE=4,
∴BG=BE-GE=4-1=3,
在Rt△ABE中,AB=
=
=
,
∵BE是∠ABC的平分线,BE⊥AD,
∴BE垂直平分AD,
∴BD=AB=
,
∵AD是△ABC的中线,
BC=2BD=2
,
在Rt△AEG中,AE=
=
=
,
∵DF是△BCE的中位线,GE是△ADF的中位线,
∴AE=EF=CF=
,
∴AC=3
.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∴DF是△BCE的中位线,
∴DF∥BE,DF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵BE是∠ABC的平分线,BE⊥AD,
∴AG=GD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴GE是△ADF的中位线,
∴GE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵BE=4,
∴BG=BE-GE=4-1=3,
在Rt△ABE中,AB=
AG2+BG2 |
22+32 |
13 |
∵BE是∠ABC的平分线,BE⊥AD,
∴BE垂直平分AD,
∴BD=AB=
13 |
∵AD是△ABC的中线,
BC=2BD=2
13 |
在Rt△AEG中,AE=
AG2+GE2 |
22+12 |
5 |
∵DF是△BCE的中位线,GE是△ADF的中位线,
∴AE=EF=CF=
5 |
∴AC=3
5 |
点评:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,勾股定理,线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,三角形的中线的定义,等腰三角形三线合一的性质,熟记定理与各性质并作辅助线构造出中位线的三角形是解题的关键.
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