Question

（2005•甘肃）如图，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．
（1）在图（a）中，能否在AB上确定一点E，使得AC²=AE•AB，为什么？
（2）在图（b）中，在条件（1）的结沦下延长EC到P，连接PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）使AC²=AE•AB成立，则应有△AEC∽△ACB，则应有∠B=∠ACE，则应有∠B对的弧与∠ACE对的弧相等，即点A是CAD的中点；
（2）过点B作直径BF，连接CF，根据圆周角定理及已知可得到∠PBCF=90°，OB是圆O的半径，从而得到PB是圆O的切线．
解答：解：（1）在优弧AB上截取弧AD=弧AC，则有∠B=∠ACD，
∵A=∠A，
∴△AEC∽△ACB．
∴AC：AB=AE：AC．
即AC²=AE•AB．

（2）如图b，过点B作直径BF，连接CF，
∵PB=PE，
∴∠PEB=∠PBE．
∵∠PEB=∠A+∠ACD，∠PBE=∠PBC+∠CBE，∠ACD=∠CBA=∠CBE，
∴∠A=∠PBC．
∵BF是直径，
∴∠BCF=-90°．
∵∠A=∠F，∠F+∠CBF=90°，
∴∠PBC+∠CBF=90°．
∵OB是圆O的半径，
∴PB是圆O的切线．
点评：本题综合利用了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形的外角与内角的关系，直径对的圆周角是直角，同角的余角相等，切线的判定求解．