题目内容
已知抛物线y=-x2+(m-2)x+3(m+1).(1)求证:无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点;
(2)设抛物线与y轴交于点C,当抛物线与x轴有两个交点A、B(点A在点B的左侧)时,如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角,那么m的取值范围是
(3)在(2)的条件下,P是抛物线的顶点,当△PAO的面积与△ABC的面积相等时,求该抛物线的解析式.
分析:(1)本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都大于零,再判断出物线与x轴总有交点.
(2)根据已有的条件,就能确定出m的取值范围,即可得到结果.
(3)根据抛物线y=-x2+(m-2)x+3(m+1),求出x1和x2的值,即可求出点P的坐标,再分2个方面进行讨论,当A(m+1,0)、B(-3,0)时和A(-3,0)、B(m+1,0)时,最后求出结果即可.
(2)根据已有的条件,就能确定出m的取值范围,即可得到结果.
(3)根据抛物线y=-x2+(m-2)x+3(m+1),求出x1和x2的值,即可求出点P的坐标,再分2个方面进行讨论,当A(m+1,0)、B(-3,0)时和A(-3,0)、B(m+1,0)时,最后求出结果即可.
解答:
(1)证明:∵△=(m-2)2-4×(-1)×3(m+1)
=(m+4)2≥0
∴无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点.
(2)解:∵抛物线与x轴有两个交点A、B(点A在点B的左侧),∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角,
∴m+1<0,(可以画图象得出),当m=-4,图象与坐标轴一个交点,
∴m<-1且m≠-4.
(3)解:令y=-x2+(m-2)x+3(m+1)=0,
解得x1=m+1,x2=-3.
可求得顶点P(
,
).
①当A(m+1,0)、B(-3,0)时,
∵S△PAO=S△ABC,
∴
(m+1)×
=
(-m-4)×3(m+1).
解得m=-16.
∴y=-x2-18x-45.
②当A(-3,0)、B(m+1,0)时,
同理得
×3×
=
(m+4)×[-3(m+1)].
解得m=-
.
∴y=-x2-
x-
.
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201204/24/f2cba05a.png)
=(m+4)2≥0
∴无论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点.
(2)解:∵抛物线与x轴有两个交点A、B(点A在点B的左侧),∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角,
∴m+1<0,(可以画图象得出),当m=-4,图象与坐标轴一个交点,
∴m<-1且m≠-4.
(3)解:令y=-x2+(m-2)x+3(m+1)=0,
解得x1=m+1,x2=-3.
可求得顶点P(
m-2 |
2 |
(m+4)2 |
4 |
①当A(m+1,0)、B(-3,0)时,
∵S△PAO=S△ABC,
∴
1 |
2 |
(m+4)2 |
4 |
1 |
2 |
解得m=-16.
∴y=-x2-18x-45.
②当A(-3,0)、B(m+1,0)时,
同理得
1 |
2 |
(m+4)2 |
4 |
1 |
2 |
解得m=-
8 |
5 |
∴y=-x2-
18 |
5 |
9 |
5 |
点评:本题主要考查了二次函数的综合问题,在解题时要注意找出各点的坐标问题,再把各点代入解析式是解题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )
A、4 | B、8 | C、-4 | D、16 |