Question

【题目】阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y＝4x+1互为“互助直线”；材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；材料三：设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．

（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝　 　；

（2）直线y＝﹣2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．

（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣1）到直线y＝ax+b的直角距离．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）点H（1，1）；（3）5

【解析】

（1）根据两点间的直角距离公式即可得；

（2）先根据“互助直线”的定义得出互助直线的解析式，再联立求解即可得；

（3）先根据“互助直线”的定义得出互助直线的解析式，再根据点M、N的坐标可得一个关于a、b的方程组，依据“对于任意一点M都成立”可求出a、b的值，从而可得直线的解析式，然后根据点到直线的直角距离的定义即可得．

（1）由两点间的直角距离公式得：

故答案为：4；

（2）直线的“互助直线”为

联立，解得

则点H的坐标为；

（3）直线的“互助直线”为

由题意得：

解得

对于任意一点，上述等式都成立

则，解得

因此，直线的解析式为

设点是直线的动点

则

当时，

当时，

当时，

综上，的最小值为

则点到直线的直角距离为．